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  3. 设 (Ⅰ)讨论f(x)的连续性，若有间断点并指出间断点的类型； (Ⅱ)判断f(x)在(-∞，1]是否有界，并说明理由。

设 (Ⅰ)讨论f(x)的连续性，若有间断点并指出间断点的类型； (Ⅱ)判断f(x)在(-∞，1]是否有界，并说明理由。

admin2018-11-16  103
问题 设
(Ⅰ)讨论f(x)的连续性，若有间断点并指出间断点的类型；
(Ⅱ)判断f(x)在(-∞，1]是否有界，并说明理由。
选项
答案先求[*]。 当0＜x＜1时，[*]； 当x=1时，[*]； 当x＞1时，[*]， 于是[*] (Ⅰ)当x≠0，x≠1时，显然f(x)连续，在x=0处，由[*][*] →f(x)在点x=0处不连续，且点x=0是f(x)的第一类间断点，在x=1附近，由[*]42 →f(x)在点x=1处既左连续又右连续，于是f(x)在点x=1处连续，因此f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)连续，x=0是f(x)的第一类间断点。 (Ⅱ)题(Ⅰ)中已证明这个分段函数在(-∞，0)，(0，+∞)连续，且[*]存在，要判断f(x)在(-∞，1)上的有界性，只需再考察[*]，即[*] 因f(x)在(-∞，0)连续，又[*]存在→f(x)在(-∞，0)有界，f(x)在(0，1)连续，又[*]存在→f(x)在(0，1)有界，因此f(x)在(-∞，1)有界。
解析
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考研数学三

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