2. 考研
  3. 设方阵A满足条件ATA=E，其中AT是A的转置矩阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．

设方阵A满足条件ATA=E，其中AT是A的转置矩阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．

admin2016-01-11  260
问题 设方阵A满足条件ATA=E，其中AT是A的转置矩阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．
选项
答案设x是A的实特征向量(非零)，它所对应的特征值为λ，故有Ax=λx．(Ax)T(Ax)=xT(ATA)x=xTEx=xTx(据已知)，因此，有xTx=(Ax)T(λx)=A2xTx， 即 (1一λ2)xTx=0．由于xTx=‖x‖2＞0，故1—λ2=0，即｜λ｜=1．
解析 本题利用特征值、特征向量的定义，通过矩阵运算而得．
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考研数学二

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