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  3. 已知二次型 f(x1，x2，…，xn) = (x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2． a1，a2，…，an满足什么条件时f(x1，x2，…，xn)正定?

已知二次型 f(x1，x2，…，xn) = (x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2． a1，a2，…，an满足什么条件时f(x1，x2，…，xn)正定?

admin2021-11-15  7
问题 已知二次型
    f(x1，x2，…，xn) = (x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2．
    a1，a2，…，an满足什么条件时f(x1，x2，…，xn)正定?
选项
答案记y1=x1+a1x2，y2=x2+a2x3，…，yn=xn+anx1，则 [*] 简记为Y=AX． 则f(x1，x2，…，xn)=YTY=XTATAX．于是，实对称矩阵ATA就是f(x1，x2，…，xn)的矩阵.从而f正定就是ATA正定． ATA正定的充要条件是A可逆．计算出|A|=1+(一1)n-1a1a2…an．于是，f正定的充要条件为a1a2…an≠(一1)n．
解析
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考研数学一

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