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  3. 设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆阵P，使P一1AP=A．

设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆阵P，使P一1AP=A．

admin2019-08-12  63
问题 设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆阵P，使P一1AP=A．
选项
答案(1)先求A的特征值． 利用特征值的定义． 设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=ααTξ=λξ． ① 若αTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0； 若αTξ≠0，①式两端左乘αT，则 αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)． 因αTξ≠0，故λ=αTα=[*]。 (2)再求A的对应于λ的特征向量． 当λ=0时 [*] 即解方程 a1x1+a2x2+…+anxn=0， 得特征向量为(设a1≠0) ξ1=[a2，一a1，0，…，0]T， ξ2=[a3，0，一a1，…，0]T， …… ξn一1=[an，0，0，…，一a1]T． [*] 由观察知ξn=[α1，α2，…，αn]T． (3)由ξ1，ξ2，…，ξs，得可逆阵P． [*]
解析
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考研数学二

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