2. 考研
  3. 设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵．

设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵．

admin2018-07-27  70
问题 设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵．
选项
答案由秩(A)=r＜n，知方程组Ax=0的基础解系含n－r个向量：ξ1，ξ2，…，ξn－r．因此，ξ1，ξ2，…，ξn－r，就是A的对应于特征值0的n－r个线性无关的特征向量．设A按列分块为A=[α1 α2 …αn]，则题设条件AA=2A就是[Aα1 Aα2…Aαn]=[2α1 2α2…2αn]，由Aαj=2αj，知A的列向量组的极大无关组[*]就是A的对应于特征值2的r个线性无关特征向量．再由特征值的性质，知ξ1，…，ξn－r，[*]就是n阶方阵A的n个线性无关特征向量，所以，A必相似于对角矩阵．
解析
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考研数学三

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