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(2001年试题,八)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆,在融化过程中其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
(2001年试题,八)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆,在融化过程中其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
admin
2021-01-15
43
问题
(2001年试题,八)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆,在融化过程中其侧面满足方程
(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
选项
答案
本题关键是要导出h(t)所满足的方程,根据题意,设V为雪堆的体积,S为雪堆的侧面积,则雪堆的侧面在xOy平面上的投影为[*]则[*]又由题设知[*]因此[*]从而[*]结合初始条件h(0)=130,得C=130,于是[*]不难算出t=100(小时),雪堆全部融化.
解析
本题综合考查了曲面面积和立体体积的计算.本题求解时可能出现的错误有:(1)审题错误,误认为侧面面积满足方程
(2)想从比例关系
一0.9S中求V,且关系式中的负号易漏;(3)将t看成与x,y有关,计算三重积分时,不知如何处理t与x,y的关系.
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考研数学一
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