2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为()T． (I)求矩阵A； (II)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为()T． (I)求矩阵A； (II)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2019-07-19  37
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为()T．
    (I)求矩阵A；
    (II)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
选项
答案(I)由题设，A的特征值为1，1，0，且(1，0，1)T为A的属于特征值0的一个特征向量．设(x1，x2，x3)T为A的属于特征值1的特征向量，因为A的属于不同特征值的特征向量正交，所以(x1，x2，x3)[*]]=0，即x1+x3=0，取([*])T、(0，1，0)T为A的属于特征值1的两个正交的单位特征向量．令正交矩阵 [*] (Ⅱ)由(I)知A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，又A+E为实对称矩阵，所以A+E为正定矩阵．
解析
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考研数学一

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