2. 考研
  3. 已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，-1，-3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出。 (Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件； (Ⅱ)求向量组α1，α2，α3

已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，-1，-3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出。 (Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件； (Ⅱ)求向量组α1，α2，α3

admin2018-01-26  69
问题 已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，-1，-3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出。
  (Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件；
  (Ⅱ)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出；
  (Ⅲ)把向量β分别用α1，α2，α3，α4和它的极大线性无关组线性表出。
选项
答案(Ⅰ)β可由α1，α2，α3，α4线性表示，即方程组(1)x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解，对增广矩阵作初等行变换，有 [*] 所以向量β可以由α1，α2，α3，α4线性表出的充分必要条件是：a1-a2+a3-a4=0。 (Ⅱ)由(Ⅰ)初等变换矩阵知，向量组α1，α2，α3，α4的极大线性无关组是α1，α2，α3，且 α4=-6α1+6α2-3α3 (2) (Ⅲ)方程组(1)的通解是 x1=a1-a2-2a3+6t，x2=a2+2a3-6t， x3=3t-a3，x4=t，其中t为任意常数， 所以β=(a1-a2-2a3+6t)α1+(a2+2a3-6t)α2+(3t-a3)α3+tα4，其中t为任意常数。 把(2)式代入，得 β=(a1-a2-2a3)α1+(a2+2a3)a2-a3α3。
解析
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考研数学一

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