已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1 ，α2，α3是相应的特征向量且线性无关。证明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。

admin2019-02-26 57

问题已知λ₁，λ₂，λ₃是A的特征值，α₁，α₂，α₃是相应的特征向量且线性无关。证明：如α₁+α₂+α₃仍是A的特征向量，则λ₁=λ₂=λ₃。

选项

答案若α₁+α₂+α₃是矩阵A属于特征值A的特征向量，则 A(α₁+α₂+α₃)=λ(α₁+α₂+α₃)。又A(α₁+α₂+α₃)=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λα₁+λα₂+λα₃，于是有 (λ-λ₁)α₁+(λ-λ₂)α₂+(λ-λ₃)α₃=0。因为α₁，α₂，α₃线性无关，故λ-λ₁=0，λ-λ₂=0，λ-λ₃=0，即λ₁=λ₂=λ₃。

解析

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考研数学一

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