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(2001年试题，二)设则A与B( )．

admin2021-01-15  21
问题 (2001年试题，二)设则A与B(    )．
选项 A、合同且相似
B、合同但不相似
C、不合同但相似
D、不合同且不相似
答案A
解析 首先要明确合同与相似的定义：两个实对称阵相似它们特征值全一样；两个实对称阵合同它们特征值符号全一样．由此，计算A的特征值．由｜A—λE｜=0，则有可算得λ1=4，λ2=λ3=λ4=0，对应于λ1=4，A有相应的特征向量α1；对应于λ=0，由则r(A一0.E)=1从而它有4一1=3个线性无关特征向量，记为α2,α3,α4，令P=(α1,α2,α3,α4)，必有P-1．AP=B，因而A与B相似，同时由前述已知，可用施密特正交化P为正交阵，使得，综上知A与B合同且相似，选A．
注意相似和合同的区别：实对称矩阵合同时，它们不一定相似，但相似时一定合同．如：它们的特征值不同，故A与B不相似，但它们的正惯性指数均为2，负惯性指数均为0，故而它们合同．
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考研数学一

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