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  3. [2008年] 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意t∈[0，+∞)，由直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及z轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函

[2008年] 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意t∈[0，+∞)，由直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及z轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函

admin2019-04-05  103
问题 [2008年]  设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意t∈[0，+∞)，由直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及z轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．
选项
答案先写出旋转体体积及其侧面积表示式，依题意建立f(x)所满足的方程，求导可得到f(x)满足的微分方程，解之即可得到f(x)的表达式． 旋转体的体积V=π∫0tf2(x)dx，侧面面积为S=2π∫01f(x)[*], 由题设条件有 ∫0tf2(x)dx=∫0tf(x)[*]dx， 上式两边对t求导，得到 f2(t)=f(t)[*]，即 y′=[*]， 亦即[*]=dx． 两边积分得到ln(y+[*])=t+C．由y(0)=1得C=0，故y+[*]=et， y=(et+e-t)／2，于是所求函数为y=f(x)=(ex+e-x)／2．
解析
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考研数学二

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