2. 考研
  3. (2003年试题，十)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且．f’(x)>0．若极限存在，证明：(1)在(a，b)内f(x)>0；(2)在(a，b)内存在点ξ使(3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f’(η)(b2

(2003年试题，十)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且．f’(x)>0．若极限存在，证明：(1)在(a，b)内f(x)>0；(2)在(a，b)内存在点ξ使(3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f’(η)(b2

admin2019-03-21  67
问题 (2003年试题，十)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且．f’(x)>0．若极限存在，证明：(1)在(a，b)内f(x)>0；(2)在(a，b)内存在点ξ使(3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f’(η)(b2-a2)=
选项
答案(1)由题设，[*]存在，因此[*]已知f(x)在[a，b]上连续，因此f(a)=0，又由f’(x)>0知f(x)在(a，b)内严格单调递增，所以f(x)>f(a)=0，即f(x)>0，x∈(a，b)，引入辅助函数F(x)=x2及G(x)=[*](2)则G’(x)=f(x)>0，故F(x)与G(x)满足应用柯西中值定理的条件，则存在点ξ∈(a，b)，使得[*]即[*](3)由前述知道f(a)=0，因而f(ξ)=f(ξ)一f(a)，其中ξ∈(a，b)，在[a，ξ)上应用拉格朗日中值定理，知存在η∈(a，ξ)，使f(ξ)=f’(η)(ξ—a)则由(2)已知结论，有[*]此即f’(η)(b2一a2)=[*]
解析 中值定理是考研中的重点，构造辅助函数是解与中值定理有关的证明题的有效方法，考生应重点掌握．
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考研数学二

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