设α1，…，αm，β为m+1维向量，β=α1+…+αm(m＞1)．证明：若α1，…，αm线性无关，则β-α1，…，β-αm线性无关．

admin2021-11-09 75

问题设α₁，…，α_m，β为m+1维向量，β=α₁+…+α_m(m＞1)．证明：若α₁，…，α_m线性无关，则β-α₁，…，β-α_m线性无关．

选项

答案令k₁(β-α₁)+…+k_m(β-α_m)=0，即 k₁(α₂+α₃…+α_m)+…+k_m(α₁+α₂+…+α_m-1)=0或(k₁+k₂+…+k_m)α₁+(k₁+k₂+…+k_m)α₂+…+(k₁+k₂+…+k_m-1)α_m=0，因为α₁，…，α_m线性无关，所以[*]=(-1)^m-1(m-1)≠0，所以k₁=…=k_m=0，故β-α₁，…，β-α_m线性无关．

解析

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