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  3. 已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3． 用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3． 用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2020-04-30  55
问题 已知二次型
       f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．
选项
答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=-6． 于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形 f=y21+6y22-6y23． 对于特征值λ1=1，由于 [*] 故对应于特征值λ1=1的特征向量可取为ξ1=(2，0，-1)T． 类似地，对应于特征值λ2=6，λ3=-6的特征向量可分别取为ξ2=(1，5，2)T，ξ3=(1，-1，2)T． 因为A是实对称矩阵，且λ1，λ2，λ3互异，故x1，x2，x3构成正交向量组，将其单位化得 [*] 于是，所求的正交矩阵为 [*] 故对二次型f作正交变换 [*] 则可将f化为标准形 f=y21+6y22-6y23．
解析
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考研数学一

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