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设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且．若P=(a1，a2，a3)，Q= (a1+a2，a2，a3)，则Q-1AQ=【 】
设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且．若P=(a1，a2，a3)，Q= (a1+a2，a2，a3)，则Q-1AQ=【 】
admin
2019-03-11
73
问题
设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且
．若P=(a
1
，a
2
，a
3
)，Q= (a
1
+a
2
，a
2
，a
3
)，则Q
-1
AQ=【 】
选项
A、
B、
C、
D、
答案
B
解析
解1
其中，矩阵
，易求出
于是，Q
-1
AQ=(PM)
-1
A(PM)=M
-1
(P
-1
AP)M
因此选(B)．
解2 已知A(a
1
，a
2
，a
3
)=(a
1
，a
2
，a
3
)
<=>(Aa
1
，Aa
2
，Aa
3
)=(a
1
，a
2
，2a
3
)<=>Aa
1
=a
1
，Aa
2
=a
2
，Aa
3
=2a
3
=>A(a
1
+a
2
)=Aa
1
+Aa
2
=a
1
+a
2
=>AQ=A(a
1
+a
2
，a
2
，a
3
)=(A(a
1
+a
2
)，Aa
2
，Aa
3
)=(a
1
+a
2
，a
2
，2a
3
)=(a
1
+a
2
，a
2
，a
3
)两端左乘Q
-1
，得Q
-1
，故选(B)．
解3 由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知a
1
，a
2
，a
3
是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．a
1
+a
2
≠0(否则a
1
，a
2
线性相关，与a
1
，a
2
，a
3
线性无关矛盾)，且A(a
1
+a
2
)一Aa
1
+Aa
2
=a
1
+a
2
，因此a
1
+a
2
是A的属于特征值1的一个特征向量．
从而知a
1
+a
2
，a
2
，a
3
是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出 (a
1
+a
2
，a
2
，a
3
)
-1
A(a
1
+a
2
，a
2
，a
3
)=diag(1，1，2)，即Q
-1
AQ=diag(1，1，2)．因此选(B)．
本题主要考查矩阵乘法、特则是矩阵乘法的按列表示的应用．解1中矩阵M是一个第3类初等矩阵，求其逆阵可以直接利用初等矩阵的求逆阵公式．
本题中，矩阵Q的可逆性可以根据Q的3个列向量线性无关而知道，也可以由Q=(a
1
，a
1
， a
1
)
是两个可逆矩阵的乘积而知Q可逆．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/vkP4777K
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考研数学三
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