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[2012年] (Ⅰ)证明方程xn+xn-1+…+x=l(n>1的整数),在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根;(Ⅱ)记(I)中的实根为xn,证明xn存在,并求此极限.
[2012年] (Ⅰ)证明方程xn+xn-1+…+x=l(n>1的整数),在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根;(Ⅱ)记(I)中的实根为xn,证明xn存在,并求此极限.
admin
2019-04-05
145
问题
[2012年] (Ⅰ)证明方程x
n
+x
n-1
+…+x=l(n>1的整数),在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根;(Ⅱ)记(I)中的实根为x
n
,证明
x
n
存在,并求此极限.
选项
答案
可用零点定理和命题1.1.7.5证明(Ⅰ),用夹逼定理证明(Ⅱ). 证 (Ⅰ)令F
n
(x)=x
n
+x
n-1
+…+x一1,f
n
(x)=x
n
+x
n-1
+…+x.显然F
n
(x) 在[1/2,1]上连续,又F
n
(1)=n一1>0(因n>1). F
n
(1/2)=(1/2)
n
+(1/2)
n-1
+…+1/2—1=[*][(1/2)
n-1
+(1/2)
n-2
+…+1]一1 =f
n
[*]<0. 由闭区间上连续函数的零点定理(见定理1.1.7.1)知,在开区间(1/2,1)内,方程F
n
(x)=0即 f
n
(x)=1至少存在一实根.又因 F'
n
(x)=nx
n-1
+(n~1)x
n-2
+…+l>0, 其中x∈(1/2,1),故F
n
(x)=f
n
(x)一1在(1/2,1)内单调.由命题1.1.7.5知,方程F
n
(x)=0, 即f
n
(x)=1在(1/2,1)内仅存在一个实根x
n
.因而f
n
(x
n
)=1. (Ⅱ)为证[*]x
n
存在,并求此极限,对f
n
(x)在区间[1/2,x
n
]上使用拉格朗日中值定理 得到:存在ξ
n
∈(1/2,x
n
),使得 [*]=f'
n
(ξ
n
), 因f'
n
(ξ
n
)=nξ
n-1
+(n一1)ξ
n-1
+…+1>1(因ξ>1/2,n>1),故 ∣f
n
(x
n
)一f
n
(1/2)∣=∣f'
n
(ξ
n
)∣∣x
n
一1/2∣>∣x
n
一1/2∣. 而 ∣f
n
(x
n
)一f
n
(1/2)∣=f
n
(x
n
)一f
n
(1/2)=1一[1一(1/2)
n
]=(1/2)
n
, 故∣x
n
一1/2∣<(1/2)
n
.由0≤∣x
n
一1/2∣≤(1/2)
n
及夹逼定理知 [*]∣x
n
一1/2∣=0, 即[*]∣x
n
∣=1/2. 因而[*]x
n
存在,且[*]x
n
=1/2.
解析
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考研数学二
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