求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

admin2016-09-12 78

问题求二元函数z=f(x，y)=x²y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

选项

答案(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值，在L₁：y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L₂：x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L₃：y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x²(6-x)=2x³-12x²．由[*]=6x²-24x=0得x=4，因为f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以f(x，y)在L₃上最小值为-64，最大值为0． (2)在区域D内，由[*]得驻点为(2，1)， [*] 因为AC-B₂＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大点，极大值为f(2，1)=4，故z=f(x，y)在D上的最小值为m=(4，2)-64，最大值为M=f(2，1)=4．

解析

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考研数学二

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