求函数f(x)=(2－t)e-tdt的最大值和最小值。

admin2022-09-05 54

问题求函数f(x)=

(2－t)e^-tdt的最大值和最小值。

选项

答案因为f(x)是偶函数,故只需求f(x)在[0, +∞)内的最大值与最小值. 令f’(x)=2x(2－x²)[*]=0故在区间(0,+∞)内有唯一的驻点x=[*] 当0＜x＜[*]时，f’(x)＞0；当x＞[*]时，f’(x)＜0,所以x=[*]是极大值点，即最大值点，最大值 [*]=∫₀²(2－t)e^-tdt=－(2－t)e^-t∣₀²－∫₀²e^-tdt=1+e^-2 因为∫₀^+∞(2－t)e^-tdt=－(2－t)e^-t|₀^+∞+e^-t|₀^+∞=2－1=1 以及f(0)=0，故x=0是最小值点，所以f(x)的最小值为0.

解析

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考研数学三

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