(2000年)设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k＞0)，求球体的重心位置。

admin2019-03-07 113

问题 (2000年)设有一半径为R的球体，P₀是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P₀距离的平方成正比(比例常数k＞0)，求球体的重心位置。

选项

答案方法一：记所考虑的球体为Ω，以Ω的球心为坐标原点O，射线OP₀为正x轴建立直角坐标系，则球面方程为：x²+y²+z²=R²，点P₀的坐标为(R，0，0)，设Ω的重心位置为[*]由对称性，得[*]设μ为Ω上点(x，y，2)处的密度，按题设μ=k[(x—R)²+y²+z²]，则 [*] 其中， [*] 其中第一个积分的被积函数为z的奇函数，Ω关于xOy平面对称，所以该积分值为零，又由于Ω关于x，y，z轮换对称，所以 [*] 方法二：用Ω表示所考虑的球体，[*]表示球心，以点P₀选为原点，射线[*]为正z轴建立直角坐标系，则球面的方程为x²+y²+z²=2Rz，设Ω的重心位置为[*]由对称性，得[*]设μ为Ω上点(x，y，z)处的密度，按题设μ=k(x²+y²+z²)。所以 [*] 因为 [*] 故[*]因此，球体Ω的重心位置为[*]

解析

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考研数学一

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(2000年)设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k＞0)，求球体的重心位置。

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