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设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，an+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明：α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。
设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，an+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明：α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。
admin
2018-01-26
57
问题
设α
1
，α
2
，…，α
n
是n个n维的线性无关向量组，a
n+1
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
，其中k
1
，k
2
，…，k
n
全不为零。证明：α
1
，α
2
，…，α
n
，α
n+1
中任意n个向量线性无关。
选项
答案
选取α
i
之外的n个向量为例。 令λ
1
α
1
+…+λ
i-1
α
i-1
+λ
i+1
α
i+1
+…+λ
n
α
n
+λ
n+1
α
n+1
=0，即(λ
1
+
n+1
λk
1
)α
1
+…+(λ
i-1
+λ
n+1
k
i-1
)α
i-1
+λ
n+1
k
i
α
i
+(λ
i+1
+λ
n+1
k
i+1
)α
i+1
+…+(λ
n
+λ
n+1
k
n
)α
n
=0。 因为α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关，所以必有λ
n+1
k
i
=0，而k
i
≠0，则λ
n+1
=0，故由λ
1
+λ
n+1
k
1
=0，…，λ
i-1
+λ
n+1
k
i-1
=0，λ
i+1
+λ
n+1
k
i+1
=0，…，λ
n
+λ
n+1
k
n
=0，立即得λ
1
=λ
2
=…=λ
i-1
=λ
i+1
=…=λ
n+1
=0，所以α
1
，α
2
，…，α
i-1
，α
i+1
，…，α
n
，α
n+1
线性无关。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/ncr4777K
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考研数学一
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