设A是三阶方阵，α1，α2，α3是三维线性无关的列向量组，且Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2。求矩阵A的全部特征值；

admin2019-02-23 108

问题设A是三阶方阵，α₁，α₂，α₃是三维线性无关的列向量组，且Aα₁=α₂+α₃，Aα₂=α₃+α₁，Aα₃=α₁+α₂。
求矩阵A的全部特征值；

选项

答案α₁，α₂，α₃线性无关，则α₁+α₂+α₃≠0，α₂一α₁≠0，α₃一α₁≠0，且由 A(α₁+α₂+α₃)=2(α₁+α₂+α₃)， A(α₂一α₁)=一(α₂一α₁)， A(α₃一α₁)=一(α₃一α₁)，可知矩阵A的特征值为2和一1。又由α₁，α₂，α₃线性无关可知α₂一α₁，α₃一α₁也线性无关，所以一1是矩阵A的二重特征值，即A的全部特征值为2，一1，一1。

解析

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