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设齐次方程组(Ⅰ)有一个基础解系β＝(b11，b12，…，b1×2n)T，β2＝(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn＝(bn1，bn2，…，bn×2n)T． 证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)的通解．
设齐次方程组(Ⅰ)有一个基础解系β＝(b11，b12，…，b1×2n)T，β2＝(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn＝(bn1，bn2，…，bn×2n)T． 证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)的通解．
admin
2016-10-21
59
问题
设齐次方程组(Ⅰ)
有一个基础解系β＝(b
11
，b
12
，…，b
1×2n
)
T
，β
2
＝(b
21
，b
22
，…，b
2×2n
)
T
，…，β
n
＝(b
n1
，b
n2
，…，b
n×2n
)
T
．
证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)
的通解．
选项
答案
分别记A和B为(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵． (Ⅰ)的未知量有2n个，它的基础解系含有n个解，则r(A)＝n，即A的行向量组α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关． 由于β
1
，…，β
n
都是(Ⅰ)的解，有AB
T
＝(Aβ
1
，Aβ
2
，…，Aβ
n
)＝0，转置得BA
T
＝0，即Bα
i
T
＝0，i＝1，…，n．于是，α
1
，α
2
，…，α
n
是(Ⅱ)的n个线性无关的解．又因为r(B)＝n，(Ⅱ)也有2n个未知量，2n－r(B)＝n．所以α
1
，α
2
，…，α
n
是(Ⅱ)的一个基础解系．从而(Ⅱ)的通解为 c
1
α
1
＋c
2
α
2
＋…＋c
n
α
n
，c
1
，c
2
，…，c
n
可取任意数．
解析
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考研数学二
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