设A是n阶矩阵，α1,α2,α3,…,αn是n维列向量，且αn≠0,若 Aα1=α2,Aα2=α3,…Aαn-1=αn,Aαn=0 求A的特征值与特征向量。

admin2021-11-25 73

问题设A是n阶矩阵，α₁,α₂,α₃,…,α_n是n维列向量，且α_n≠0,若
Aα₁=α₂,Aα₂=α₃,…Aα_n-1=α_n,Aα_n=0

求A的特征值与特征向量。

选项

答案A(α₁,α₂,α₃，…，α_n)=(α₁,α₂,α₃，…，α_n)[*] 令P=(α₁,α₂,α₃，…，α_n) 则P^-1AP=[*]=B,则A与B相似，由｜λE－B｜=0→λ₁=λ₂=...=λ_n=0. 即A的特征值全为零，又r(A)=n－1,所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aa_n=0a_n(a_n≠0),所以A的全部特征值为ka_n(k≠0).

解析

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