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设y(x)是初值问题的解,则∫0+∞xyˊ(x)dx= ( )
设y(x)是初值问题的解,则∫0+∞xyˊ(x)dx= ( )
admin
2020-02-28
94
问题
设y(x)是初值问题
的解,则∫
0
+∞
xyˊ(x)dx= ( )
选项
A、-1-b+2a.
B、-1+b-2a.
C、-1-b-2a.
D、-1+b-2a.
答案
C
解析
y″+2yˊ+y=e
-x
的通解为
y=(C
1
+ C
1
x+Ax
2
)e
-x
,
其中C
1
,C
2
为任意常数.A为某常数,而线性方程的通解为一切解.由此
yˊ=[( C
2
-C
1
)+(2A-C
2
)x-Ax
2
]e
-x
,
可见,无论C
1
,C
2
,A是什么常数,∫
0
+∞
xyˊ(x)dx收敛.于是由分部积分法和原给的式子y=e
-x
-y″-2yˊ,可得
∫
0
+∞
xyˊ(x)dx=∫
0
+∞
xdy(x)
= xy(x)|
0
+∞
-∫
0
+∞
y(x)dx
=0-0-∫
0
+∞
[e
-x
-y″(x)-2yˊ(x)]dx
=[e
-x
+yˊ(x)+2y(x)]|
0
+∞
=(0+0+0)-[1+yˊ(0)+2y(0)]
=-1-b-2a.
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考研数学二
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