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  3. 设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xyˊ(x)dx= ( )

设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xyˊ(x)dx= ( )

admin2020-02-28  92
问题 设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xyˊ(x)dx=    (    )
选项 A、－1－b+2a．
B、－1+b－2a．
C、－1－b－2a．
D、－1+b－2a．
答案C
解析 y″+2yˊ+y=e－x的通解为
y=(C1+ C1x+Ax2)e－x，
其中C1，C2为任意常数．A为某常数，而线性方程的通解为一切解．由此
yˊ=[( C2－C1)+(2A－C2)x－Ax2]e－x，
可见，无论C1，C2，A是什么常数，∫0+∞xyˊ(x)dx收敛．于是由分部积分法和原给的式子y=e－x－y″－2yˊ，可得
∫0+∞xyˊ(x)dx=∫0+∞xdy(x)
= xy(x)| 0+∞－∫0+∞y(x)dx
=0－0－∫0+∞[e－x－y″(x)－2yˊ(x)]dx
=[e－x+yˊ(x)+2y(x)]|0+∞
=(0+0+0)－[1+yˊ(0)+2y(0)]
=－1－b－2a．
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考研数学二

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