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设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,求L的方程.
设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,求L的方程.
admin
2018-11-21
67
问题
设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度
,求L的方程.
选项
答案
设L的方程为y=y(x),过点M(x,y(x))的切线与y轴的交点为A(0,y(x)一xy’(x)),又 |[*]|
2
=x
2
+[y(x)一(y(x)一xy’(x))]
2
=x
2
+x
2
y’
2
, |[*]|
2
=(y
2
—xy’)
2
, 按题意得 x
2
+x
2
y’
2
=(y一xy’)
2
,即 2xyy’一y
2
=一x
2
. 又初始条件 [*]. 这是伯努利方程(也是齐次方程)2yy’一[*]y
2
=一x. 对z=y
2
而言这是一阶线性方程,两边乘积分因子μ=[*],得 [*]y
2
=一x+C.y
2
=一x
2
+Cx. 由初始条件[*],得C=3.因此L的方程为y
2
+x
2
=3x. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/u4g4777K
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考研数学一
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