2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，f′(a)＜0，f′(b)＜0，则方程f′(x)在(a，b)内( )．

设f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，f′(a)＜0，f′(b)＜0，则方程f′(x)在(a，b)内( )．

admin2016-11-03  42
问题 设f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，f′(a)＜0，f′(b)＜0，则方程f′(x)在(a，b)内(    )．
选项 A、没有实根
B、有且仅有一个实根
C、有且仅有两个不相等的实根
D、至少有两个不相等实根
答案D
解析 因    f′(a)=＜0，
故在a的某邻域内存在点x1，a＜x1＜，使f(x1)＜0．同理由f′(b)＞0知，必存在点x2，＜x2＜b，使f(x2)＞0．由连续函数性质(介值定理)知，存在c∈(x1，x2)(a，b)，使f(c)=0．
在闭区间[a，c]和[c，b]上对f(x)分别使用罗尔定理知，至少存在一点ξ1∈(a，c)，使得f′(ξ1)=0，至少存在一点ξ2∈(c，b)，使得f′(ξ2)=0，故方程f′(x)=0在(a，b)内至少有两个不相等的实根．仅(D)入选．
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考研数学一

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