2. 考研
  3. 设矩阵A＝(aij)n×n的秩为n，aij的代数余子式为Aij(i，j＝1，2，…，n)．记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组 是齐次线性方程组Bχ＝0的基础解系．

设矩阵A＝(aij)n×n的秩为n，aij的代数余子式为Aij(i，j＝1，2，…，n)．记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组 是齐次线性方程组Bχ＝0的基础解系．

admin2017-06-26  101
问题 设矩阵A＝(aij)n×n的秩为n，aij的代数余子式为Aij(i，j＝1，2，…，n)．记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组

    是齐次线性方程组Bχ＝0的基础解系．
选项
答案r(B)＝r，[*]方程组Bχ＝0的基础解系含n－r个向量，故只要证明α1，α2，…，αn-r是方程组Bχ＝0的线性无关解向量即可．首先，由行列式的性质，有[*]aijAkj＝0(i＝1，2，…，r；k＝r＋1，r＋2，…，n)．故α1，α2，…，αn-r都是Bχ＝0的解向量；其次，由于｜A*｜＝｜A｜n-1≠0，知A*的列向量组线性无关，而α1，α2…，αn-r正好是A*的后n－r列，故α1，α2，…，αn-r线性无关，因此α1，α2，…，αn-r是Bχ＝0的n－r个线性无关解向量，从而可作为Bχ＝0的基础解系．
解析
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考研数学三

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