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  3. 设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，0

设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，0

admin2016-05-17  34
问题 设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，001f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．
选项
答案令φ(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt,φ(0)=0. φˊ(x)=2f(x)∫0xf(t)dt—f3(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt－f2(x)]． 再令h(x)=2∫0xf(t)dt－f2(x)，h(0)=0，hˊ(x)=2f(x)[1－fˊ(x)]． 由f(0)=0，0＜fˊ(x)＜1得f(x)＞0(0＜x≤1)， 则hˊ(x)=2f(x)[1－fˊ(x)]＞0(0＜x＜1)， 由[*] 得h(x)＞0(0＜x≤1)，从而φˊ(x)＞0(0＜x＜1)， 再由[*] 得φ(x)＞0(0＜x≤1)， 于是φ(1)＞0，即[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．
解析
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考研数学二

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