设A是n阶矩阵，α1,α2,α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα2=α1+α2，试证α1,α2,α3线性无关．

admin2018-08-12 62

问题设A是n阶矩阵，α₁,α₂,α₃是n维列向量，且α₁≠0，Aα₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₂=α₁+α₂，试证α₁,α₂,α₃线性无关．

选项

答案由Aα₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₃=α₂+α₃，得(A—E)α₁=0，(A—E)α₂=α₁，(A—E)α₃=α₂. 设数λ₁，λ₂，λ₃，使λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃=0， (1) 用A—E左乘上式两边，得λ₂α₁+λ₃α₂=0． (2) 再用A—E左乘(2)式两边，得λ₃α₁=0．而α₁≠0，于是λ₃=0．代入(1)、(2)，得λ₂=0，λ₁=0，故α₁,α₂,α₃线性无关．

解析本题考查向量组线性相关性的概念，是比较典型的证明方法．

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