2. 考研
  3. 函数f(x)=x22x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=________．

函数f(x)=x22x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=________．

admin2022-09-22  44
问题 函数f(x)=x22x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=________．
选项
答案n(n-1)(ln 2)n-2
解析 解法一  利用莱布尼茨公式(求函数乘积的高阶导数)求解．
    f(n)(x)=Cnk(x2)(k)(2x)(n-k)．
    注意到(x2)(k)｜x=0=0(k≠2)，则有
    f(n)(0)=Cn22(2x)(n-2)｜x=0=2(In 2)n-2=n(n-1)(ln 2)n-2(n≥2)．
    又f’(0)=0，因此f(n)(0)=n(n-1)(In 2)n-2(n=1，2，3…)．
    解法二  利用泰勒展开公式求解
    f(x)=x22x=x2ex ln 2=
    由逐项求导公式，可得f(n)(0)=·n!=n(n-1)(ln 2)n-2(n≥2)．
    又f’(0)=0，因此f(n)(0)=n(n-1)(ln 2)n-2(n=1，2，3…)．
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考研数学二

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