三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

admin2020-03-16 78

问题三元二次型f=X^TAX经过正交变换化为标准形f=y₁²+y₂²-2y₃²，且A^*+2E的非零特征值对应的特征向量为α₁=

，求此二次型．

选项

答案因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为f=y₁²+y₂²-2y₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=-2．由｜A｜=λ₁λ₂λ₃=-2得A^*的特征值为μ₁=μ₂=-2，μ₃=1，从而A^*+2E的特征值为0，0，3，即α₁为A^*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃=-2的特征向量．令A的属于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为α=[*]，因为A为实对称矩阵，所以有α₁^Tα=0，即x₁+x₃=0故矩阵A的属于λ₁=λ₂=1的特征向量为 α₂=[*]，α₃=[*] 令P=(α₂，α₃，α₁)=[*]，由P^-1AP=[*]，得 A=P[*]P^-1=[*]，所求的二次型为 f=X^TAX=[*]x₁²+x₂²-[*]x₃²+3x₁x₃．

解析

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考研数学二

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三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

考研数学二

设A为n阶方阵，证明：R(An)=R(An+1)。

已知线性方程组当a，b，c满足什么关系时，方程组只有零解?

设α1，α2，α3，α4是4维非零列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，A是A的伴随矩阵，已知方程组Ax=0的基础解系为(1，0，2，0)T，则方程组Ax=0的基础解系为()

[2012年](Ⅰ)证明方程xn+xn-1+…+x=l(n＞1的整数)，在区间(1／2，1)内有且仅有一个实根；(Ⅱ)记(I)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限．

[2009年]函数f(x)=的可去间断点的个数为()．

[2014年]设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上()．

设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。计算PTDP，其中

设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f(x)不恒为常数，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．

[2006年]设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3，向量α1=[一1，2，一1]T，α2=[0，一1，1]T都是齐次方程组AX=0的解．(1)求A的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

设(χ-3sin3χ＋aχ-2＋b)＝0，求a，b．

患者胃痛隐隐，口干咽燥，大便干结，舌红少津，脉细数。治疗应首选的方剂是

A．血管炎B．出血性膀胱炎C．肺纤维化D．过敏性休克E．齿龈增生

某项目投资中有部分资金来源为银行贷款，该贷款在整个项目期间将等额偿还本息，项目预计年经营成本为5000万元，年折旧费和摊销费为2000万元，则该项目的年总成本费用应()。[2014年真题]

某公司2003年销售收入为143750元，毛利率为59.8%，赊销比例为75%，销售净利率17.25%，存货周转率5.75次，期初存货余额为11500元，期初应收账款余额为13800元，期末应收账款余额为9200元，速动比率为1.84，流动比率为2.4

下列选项中，应该计入营业利润的是()。

传授系统科学文化知识，形成科学的世界观，培养基本的技能技巧和发展智力的教育活动是()

李某欲到王家盗窃，正在翻箱倒柜时，忽听到屋外有多人脚步声，只好仓皇逃走。李某的行为属于()。

设f(x)连续，f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．

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