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设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．
设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．
admin
2019-05-11
96
问题
设λ
1
，λ
2
是n阶方阵A的两个不同特征值，x
1
，x
2
分别是属于λ
1
，λ
2
的特征向量．证明：x
1
+x
2
不是A的特征向量．
选项
答案
用反证法．设x
1
+x
2
为方阵A的属于特征值λ
0
．的特征向量，则有 A(x
1
+x
2
)=λ
0
(x
1
+x
2
) 或Ax
1
+Ax
2
=λ
0
x
1
+λ
0
x
2
由已知，有Ax
i
=λ
i
x
2
(i=1，2)，于是有 λ
1
x
1
+λ
2
x
i
=λ
0
x
1
+λ
0
x
x
即(λ
1
－λ
0
)x
1
+(λ
2
－λ
0
)x
2
=0 因为x
1
、x
2
分别是属于不同特征值的特征向量，故x
1
与x
2
线性无关，因此由上式得 λ
1
－λ
0
=0，λ
2
－λ
0
=0 于是得λ
1
=λ
0
=λ
2
，这与λ
1
≠λ
2
矛盾．所以x
1
+x
2
不是A的特征向量．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/tIJ4777K
0
考研数学三
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