2. 考研
  3. 设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．

设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．

admin2020-03-16  46
问题 设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．
选项
答案因A有n个互异特征值，所以存在可逆矩阵P，使[*]其中λ1，λ2，…，λn是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)．于是，根据题设AB=BA，得(P一1AP)(P一1BP)=P一1ABP=P一1BAP=(P一1BP)(P一1AP)，即A(P一1BP)=(P一1BP)A． 令P一1BP=(cij)n×n，代入上式，有[*]比较两边元素得λicij=λjcij，即(λi—λj)cij=0． 由此有cij=0(i≠j)，故[*]
解析 本题考查矩阵相似对角化的条件．
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考研数学二

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