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  3. 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩（B）=n．

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩（B）=n．

admin2019-04-08  61
问题 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩（B）=n．
选项
答案必要性． 用齐次方程组只有零解证之．因BTAB正定，由定义知，对任意X≠0，XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，故必有BX≠0，即BX=0只有零解，亦即秩（B）=n． 充分性． 用正定的定义证之．因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为对称矩阵(正定矩阵必是实对称矩阵，所以充分性首先必证明这一点)． 由秩（B）=n知，齐次线性方程组BX=0只有零解，于是对任意X0≠0，恒有BX0≠0，又因A是正定矩阵，所以对BX0≠0，必有(BX0)TA(BX0)＞0．即对任意X0≠0，恒有X0T(BTAB)X0＞0，故BTAB是正定矩阵．
解析
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考研数学一

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