设二次型求正交变换Q，使二次型f化为标准形．

admin2019-08-27 35

问题设二次型

求正交变换Q，使二次型f化为标准形．

选项

答案记二次型f的矩阵为A，则 [*] 可知λ₁＝0，λ₂＝λ₃＝3．当λ₁＝0时，特征向量η₁＝(1，1，1)^T，将η₁单位化后得[*] 当λ₂＝λ₃＝3时，特征向量η₂＝(－1，1，0)^T，η₃＝(－1，0，1)^T，对η₂，η₃施行施密特正交化得β₂＝η₂＝(－1，1，0)^T，[*] 再将β₂，β₃单位化，得[*] 故正交变换矩阵[*]且有x＝Qy，使[*]

解析【思路探索】先写出二次型的矩阵，进而求矩阵的秩、特征值和单位正交的特征向量．
【错例分析】本题有以下错误解法：
令

则

，故秩为3．
错误原因：变量替换

不可逆．

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考研数学一

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