2. 专升本
  3. 设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f”(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F”(ξ)=0。

设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f”(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F”(ξ)=0。

admin2015-07-15  85
问题 设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f”(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F”(ξ)=0。
选项
答案证明：设G(x)=F(x)-(x-2)f(1)，则G(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导， 而G(1)=f(1)，G(2)=f(2)， 于是由f(2)=f(1)=0知G(1)=G(2)。 由罗尔定理知在(1，2)内至少有一点ξ1使G’(ξ1)=0，即F’(ξ1)=f(1)。 又由F’(x)=f(x)+(x-1)f’(x)知F’(1)=f(1)。 显然F’(x)=f(x)+(x-1)f’(x)在[1，ξ1]上满足罗尔定理条件。 于是在(1，ξ1)内至少有一点ξ使F”(ξ)=0， 即在(1，2)内至少有一点ξ使F”(ξ)=0。
解析
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