设函数f(x)在闭区间[0，2a](a＞0)上连续，且f(0)=f(2a)≠f(a)，证明：在开区间(0，a)上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=f(ξ+a)．

admin2011-06-20 131

问题设函数f(x)在闭区间[0，2a](a＞0)上连续，且f(0)=f(2a)≠f(a)，
证明：在开区间(0，a)上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=f(ξ+a)．

选项

答案构造辅助函数，F(x)=f(x+a)-f(x)，x∈[0，a]，F(x)在[0，a]连续，且F(0)=f(a)-f(0)，由于f(0)=f(2a)，则F(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)，又F(0).F(a)=[f(a)-f(0)].[f(0)-f(a)]=-[f(a)-f(0)]²＜0，由零点定理知：在(0，a)至少存在一点ξ，使F(ξ)=0，即f(ξ+a)-f(ξ)=0，f(ξ+a)=f(ξ)，ξ∈(0，a)．

解析

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