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已知二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2． a1，a2，…，an满足什么条件时f(x1，x2，…，xn)正定?
已知二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2． a1，a2，…，an满足什么条件时f(x1，x2，…，xn)正定?
admin
2021-11-09
55
问题
已知二次型
f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n
+a
n
x
1
)
2
．
a
1
，a
2
，…，a
n
满足什么条件时f(x
1
，x
2
，…，x
n
)正定?
选项
答案
记y
1
=x
1
+a
1
x
2
，y
2
=x
2
+a
2
x
3
，…，y
n
=x
n
+a
n
x
1
，则 [*] 简记为Y=AX． 则f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=Y
T
Y=X
T
A
T
AX．于是，实对称矩阵A
T
A就是f(x
1
，x
2
，…，x
n
)的矩阵．从而f正定就是A
T
A正定． A
T
A正定的充要条件是A可逆．计算出｜A｜=1+(－1)
n－1
a
1
a
2
…a
n
．于是，f正定的充要条件为a
1
a
2
…a
n
≠(－1)
n
．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/q5y4777K
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考研数学二
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