2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f″(ξ)=—4．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f″(ξ)=—4．

admin2020-02-28  89
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f″(ξ)=—4．
选项
答案转化为证明某函数的二阶导数在(0，2)[*]零点．设 g″(x)= —4．令F(x)=f(x)—g(x)则[*]ξ∈(0，2)，使f″(ξ)= —4[*]F″(ξ)=0． 注意g(x)= —2x2+c1x+c2，于是 F(0)=f(0)—g(0)= —c2 ， F(1)=f(1)—g(1)=4—c1 —c2 ， F(2)=f(2)—g(2)=8—2c1 —c2 ． 为使F(0)=F(1)=F(2)，取c1=4，c2=0，F(x)=f(x)—g(x)=f(x)—(—2x2+4x)满足F(0)=F(1)=F(2)=0．由于函数F(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间[0，1]与[1，2]上分别对函数F(x)应用罗尔定理，从而知分别存在η1∈(0，1)与η2∈(1，2)使得F′(η1)=F′(η2)=0，由题设知F′(x)在区间[η1，η2]上也满足罗尔定理的条件，再在区间[η1，η2]上对导函数F′(x)应用罗尔定理，又知存在ξ∈(η1，η2)[*](0，2)使得F″(ξ)=f″(ξ)—g″(ξ)=0，即f″(ξ)=g″(ξ)= —4成立．
解析
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考研数学二

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