[2004年] 设f(x)=∫xx+π+2∣sint∣dt．求f(x)的值域．

admin2019-04-05 64

问题 [2004年] 设f(x)=∫_x^x+π+2∣sint∣dt．求f(x)的值域．

选项

答案令f′(x)=0，得其驻点x₁=π／4，x₂=3π／4．易求得 f([*])=∫_π/4^3π/4sindt=√2，f(0)=∫₀^π/2sindt=1，f(π)=∫_π^3π/2(－sint)dt=1. f([*])=∫_3π/4^5π/4∣sin∣dt=∫_π^3π/4sindt一∫_π^5π/4sintdt=2一√2．由命题1．2．5．6知，f(x)在区间[0，π]上的最大值、最小值分别为 M=max{f(0)，f(π／4)，f(3π／4)，f(π)}=f(π／4)=√2， m=min{f(0)，f(π／4)，f(3π／4)，f(π)}=f(3π／4)=2一√2，因而f(x)的值域为[2一√2，√2]．

解析

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考研数学二

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