2. 考研
  3. 设λ为可逆方阵A的特征值，且χ为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且χ为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且χ为对应的特征向量．

设λ为可逆方阵A的特征值，且χ为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且χ为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且χ为对应的特征向量．

admin2019-07-22  58
问题 设λ为可逆方阵A的特征值，且χ为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且χ为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且χ为对应的特征向量．
选项
答案若λ＝0，则有｜0E－A｜＝0，即(－1)n｜A｜＝0，[*]｜A｜＝0，这与A可逆矛盾，故必有λ≠0；由Aχ＝λχ两端右乘A-1，得λA-1χ＝χ，两端同乘[*]，得A-1χ＝[*]χ，故[*]为A-1的一个特征值，且χ为对应的特征向量；因A-1＝｜A｜A* 代入A-1χ＝[*]χ，得A*χ＝[*]，故[*]为A*的一个特征值，且χ为对应的特征向量．
解析
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考研数学二

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