设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1． (1)确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

admin2018-05-22 110

问题设直线y=ax与抛物线y=x²所围成的图形面积为S₁，它们与直线x=1所围成的图形面积为S₂，且a＜1．
(1)确定a，使S₁+S₂达到最小，并求出最小值；
(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

选项

答案(1)直线y=ax与抛物线y=x²的交点为(0，0)，(a，a²)．当0＜a＜1时，S=S₁+S₂=∫₀^a(ax-x²)dx+∫_a¹(x²-ax)dx=[*] 令S’=a²-[*]时，S₁+S₂取到最小值，此时最小值为[*] 当a≤0时，S=∫_a(ax-x²)dx+∫₀¹(x²-ax)dx=[*] 因为S’=[*](a²+1)＜0，所以S(a)单调减少，故a=0时S₁+S₂取最小值，而 S(0)=[*]=S(0)，所以当a=[*]时，S₁+S₂最小． (2)旋转体的体积为 [*]

解析

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考研数学二

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设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1． (1)确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

考研数学二

设函数．(1)求f(x)的最小值；(2)设数列{xn}满足，证明存在，并求此极限．

设f(x)是奇函数，除x＝0外处处连续，x＝0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt是

(1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫ab(x)dx＝f(η)(b－a)；(2)若函数ψ(x)具有二阶导数，且满足ψ(2)＞ψ(1)，ψ(2)＞∫abψ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)

求函数f(x)＝∫1x2(x2－t)e－t2dt的单调区间与极值。

设m，n是正整数，则反常积分的收敛性

设向量组α1＝(a，2，10)T，α2＝(－2，1，5)T，α3＝(－1，1，4)T，β＝(1，b，c)T．试问：当a，b，c满足什么条件时，(1)β可由3线性表出，且表示唯一?(2)β不能由α1，α2，α3线性表出?(3)β可由α1，α

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足，证明：存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝2ξf(ξ)．

设A3×3=[α1,α2,α3]，方程组Ax=β有通解kξ+η=kE1，2，一3]T+[2，一1，1]T，其中k是任意常数．证明：方程组(α1,α2)x=β有唯一解，并求该解；

设b为常数．设L与l从x=1延伸到x→+∞之间的图形的面积八为有限值，求b及A的值．

设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y/(0)=3/2的解．

超声诊断出现不恰当的常见原因有

多发性骨髓瘤血液生化最主要的特征是

该病的中医诊断是：该病治疗方法是：

药物的排泄方式不包括()。

在分析外汇期货价格的决定时，不仅要对每个国家进行单独研究，而且应该对它们做比较研究，衡量一国经济状况好坏的因素，主要有()。

根据证券化产品的金融属性不同，可以将资产证券化分为(　　)。

母子公司间提供服务支付费用有关企业所得税的处理，下列陈述不正确的是()。

下列语句反映的历史事件，按时间先后排序正确的是()。①大楚兴，陈胜王②诛晁错，清君侧③苍天已死，黄天当立

下列对行政复议的特征叙述错误的选项是()。

下列村民中，可以列入参加选举的村民名单的是()

设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1． (1)确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

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设函数．(1)求f(x)的最小值；(2)设数列{xn}满足，证明存在，并求此极限．

设f(x)是奇函数，除x＝0外处处连续，x＝0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt是

(1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫ab(x)dx＝f(η)(b－a)；(2)若函数ψ(x)具有二阶导数，且满足ψ(2)＞ψ(1)，ψ(2)＞∫abψ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)

求函数f(x)＝∫1x2(x2－t)e－t2dt的单调区间与极值。

设m，n是正整数，则反常积分的收敛性

设向量组α1＝(a，2，10)T，α2＝(－2，1，5)T，α3＝(－1，1，4)T，β＝(1，b，c)T．试问：当a，b，c满足什么条件时，(1)β可由3线性表出，且表示唯一?(2)β不能由α1，α2，α3线性表出?(3)β可由α1，α

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足，证明：存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝2ξf(ξ)．

设A3×3=[α1,α2,α3]，方程组Ax=β有通解kξ+η=kE1，2，一3]T+[2，一1，1]T，其中k是任意常数．证明：方程组(α1,α2)x=β有唯一解，并求该解；

设b为常数．设L与l从x=1延伸到x→+∞之间的图形的面积八为有限值，求b及A的值．

设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y/(0)=3/2的解．

超声诊断出现不恰当的常见原因有

多发性骨髓瘤血液生化最主要的特征是

该病的中医诊断是：该病治疗方法是：

药物的排泄方式不包括()。

在分析外汇期货价格的决定时，不仅要对每个国家进行单独研究，而且应该对它们做比较研究，衡量一国经济状况好坏的因素，主要有()。

根据证券化产品的金融属性不同，可以将资产证券化分为( )。

母子公司间提供服务支付费用有关企业所得税的处理，下列陈述不正确的是()。

下列语句反映的历史事件，按时间先后排序正确的是()。①大楚兴，陈胜王②诛晁错，清君侧③苍天已死，黄天当立

下列对行政复议的特征叙述错误的选项是()。

下列村民中，可以列入参加选举的村民名单的是()

根据证券化产品的金融属性不同，可以将资产证券化分为(　　)。