2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明： (Ⅰ)在(a，b)内，g(x)≠0； (Ⅱ)在(a，b)内至少存在一点ξ，使。

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明： (Ⅰ)在(a，b)内，g(x)≠0； (Ⅱ)在(a，b)内至少存在一点ξ，使。

admin2019-01-15  107
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：
(Ⅰ)在(a，b)内，g(x)≠0；
(Ⅱ)在(a，b)内至少存在一点ξ，使。
选项
答案(Ⅰ)假设对任意的c∈(a，b)且g(c)=0。由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上分别运用罗尔定理可得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g’(x)在[ξ1，ξ2]运用罗尔定理，可得g’’(ξ3)=0(ξ3∈(ξ1，ξ2))。 因已知g’’(x)≠0，与题设矛盾，故g(c)≠0，即在(a，b)内，g(x)≠0。 (Ⅱ)构造辅助函数F(x)=f(x)g’(x)-f’(x)g(x)，则有F(a)=0，F(b)=0，在[a，b]上满足罗尔定理。 故至少存在一点ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=f(ξ)g’’(ξ)-f’’(ξ)g(ξ)=0，即[*]。
解析
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考研数学三

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