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(2002年试题,九)已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2一α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解
(2002年试题,九)已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2一α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解
admin
2013-12-27
79
问题
(2002年试题,九)已知4阶方阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为4维列向量,其中α
2
,α
3
,α
4
线性无关,α
1
=2α
2
一α
3
.如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,求线性方程组Ax=β的通解
选项
答案
根据题设α
2
,α
3
,α
4
线性无关且α
1
=2α
2
一α
3
,因此rA=3,同时β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,则方程组Ax=β的增广矩阵B=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)的秩也为3,即rB=3,因此方程组Ax=β有解,由4一rA=1,知Ax=β有无穷多解,且Ax=0的解空间维数等于1,即基础解系中只含一个解向量,又由已知α
1
=2α
2
一α
3
,即α
1
一2α
2
+α
3
=0,可推出[*]从而[*]是Ax=0的一个解向量,因此[*]是Ax=0的基础解系.同时由β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,可推出[*]是Ax=β的一个特解,从而方程组Ax=β通解为[*]其中C为任意常数. 解析二令[*]则由β=Ax=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)[*]得,x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
将α
1
=2α
2
一α
3
代λ上式得,(2x
1
+x
2
—3)α
2
+(一x
1
+x
3
)α+(x
4
—1)α
4
=0因α
2
,α
3
,α
4
线性无关,故而有 [*] 解上述方程组得 [*] 其中k为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/pC54777K
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考研数学一
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