2. 考研
  3. 设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，满足aTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．求 A的特征值和特征向量．

设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，满足aTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．求 A的特征值和特征向量．

admin2019-08-06  109
问题 设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，满足aTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．求
A的特征值和特征向量．
选项
答案①求A的特征值． 解一 设Aα=λα(α≠0)，则A·Aα=λAα=λ2α，即λ2α=0．因α≠0，故λ=0，即A的所有特征值等于0． 解二 由A=αβ得秩(A)≤秩(α)=1，又A≠O，秩(A)≥1，故秩(A)=1．由命题2．5．1．5知，A的n个特征值为 λ1=λ1=…=λn-1， [*] 解三 因为A为幂零矩阵，由命题2．5．1．9知，其特征值都为0． ②下面求A的属于λ=0的特征向量．为此解(0E—A)X=0，即AX=0． 因α，β≠0，不妨设a1≠0，b1≠0，用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，得到 [*] 故一个基础解系含n－秩(A)=n－1个解向量，即 α1=[－b2／b1，1，0，…，0]T，α2=[－b3／b1，0，1，0，…，0]T，…，αn－1=[－bn／b1，0，…，0，1]T， 所以A的属于特征值0的全部特征向量为 k1α1+k2α2+…+kn－1αn－1 (k1，k2，…，kn－1是不全为O的任意常数)．
解析
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考研数学三

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