设函数f(x)连续，且满足∫03xf()dt+e2x=f(x)，求f(x)．

admin2018-06-14 80

问题设函数f(x)连续，且满足∫₀^3xf(

)dt+e^2x=f(x)，求f(x)．

选项

答案在积分中作换元s=[*]=3∫₀^xf(s)dx，代入方程，可得 f(x)=3∫₀^xf(s)ds+e^2x．在上式中令x=0，得f(0)=1．由于f(x)连续，因而上式中右端的变上限定积分可导，又e^2x也可导，这就保证了f(x)可导．将上式两端对x求导，得f’(x)=3f(x)+2e^2x．由此可见，f(x)是一阶线性微分方程y’一3y=2e^2x满足初始条件y(0)=1的特解．用积分因子e^-3x乘方程两端，得(ye^-3x)’=2e^-x．积分一次，不难得到它的通解y=Ce^3x一2e^2x．利用初始条件可确定常数C=3．所以，所求的函数是 f(x)=3e^3x一2e^2x．

解析

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考研数学三

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