设f(x)为连续函数，F(x)=∫0xf(t)dt,证明： F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反。

admin2021-07-15 76

问题设f(x)为连续函数，F(x)=∫₀^xf(t)dt,证明：
F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反。

选项

答案设f(x)为奇函数，F(x)=∫₀^xf(t)dt,则 F(－x)－F(x)=∫₀^-xf(t)dt－∫₀^xf(t)dt=∫_x^-xf(t)dt=0 所以F(x)是偶函数。设f(x)是偶函数，F(x)=∫₀^xf(t)dt，则 F(－x)+F(x)=∫₀^－xf(t)dt+∫₀^xf(t)dt =∫₀^xf(－u)(－du)+∫₀^xf(t)dt =－∫₀^xf(u)du+∫₀^xf(t)dt=0 所以F(x)是奇函数。

解析

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