函数F(x)=∫xx+2πf(t)dt，其中f(t)=esin2t(1+sin2t)cos2t，则F(x)

admin2019-08-12 71

问题函数F(x)=∫_x^x+2πf(t)dt，其中f(t)=e^sin²t(1+sin²t)cos2t，则F(x)

选项 A、为正数．
B、为负数．
C、恒为零．
D、不是常数．

答案B

解析由于被积函数连续且以π为周期(2π也是周期)，故F(x)=F(0)=∫₀^2πf(t)dt=2∫₀^πf(t)dt，即F(x)为常数.由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即
2∫₀^πf(t)dt=∫₀^πe^sin²t(1+sin²t)d(sin2t)=∫₀^2π-sin²2te^sin²t(2+sin²t)dt＜0，
故应选(B)．

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