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设函数f(χ)在[0,π]上连续,且∫0πf(χ)sinχdχ=0∫0πf(χ)cosχdχ,=0.证明:在(0,π)内f(χ)至少有两个零点.
设函数f(χ)在[0,π]上连续,且∫0πf(χ)sinχdχ=0∫0πf(χ)cosχdχ,=0.证明:在(0,π)内f(χ)至少有两个零点.
admin
2019-08-12
121
问题
设函数f(χ)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(χ)sinχdχ=0∫
0
π
f(χ)cosχdχ,=0.证明:在(0,π)内f(χ)至少有两个零点.
选项
答案
反证法.如果f(χ)在(0,π)内无零点(或有一个零点,但f(χ)不变号,证法相同),即f(χ)>0(或<0),由于在(0,π)内,亦有sinχ>0,因此,必有∫
0
π
f(χ)sinχdχ>0(或<0).这与假设相矛盾. 如果f(χ)在(0,π)内有一个零点,而且改变一次符号,设其零点为a∈(0,π),于是在(0,a)与(a,π)内f(χ)sin(χ-a)同号,因此∫
0
π
f(χ)sin(χ-a)dχ≠0.但是,另一方面 ∫
0
π
f(χ)sin(χ-a)dχ=∫
0
π
f(χ)(sinχcosa-cosχsina)dχ =cosa∫
0
π
f(χ)sinχdχ-sina∫
0
π
f(χ)cosχdχ=0. 这个矛盾说明f(χ)也不能在(0,π)内只有一个零点,因此它至少有两个零点.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/dwN4777K
0
考研数学二
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