2. 考研
  3. 设f(x)在区间(一∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设 f(x)=2∫0xf’(x—t)t2dt+sin x， 求f(x)．

设f(x)在区间(一∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设 f(x)=2∫0xf’(x—t)t2dt+sin x， 求f(x)．

admin2018-09-20  60
问题 设f(x)在区间(一∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设
   f(x)=2∫0xf’(x—t)t2dt+sin x，
求f(x)．
选项
答案f(x)=2∫0xf’(x-t)t2dt+sin x =一2∫0xt2d[f(x—t)]+sin x =一2[t2f[(x一t)|0x—2∫0xtf(x一t)dt]+sin x =一2[x2f(0)-0-2∫x0(x一u)f(u)(一du)]+sin x =-2x2f(0)+4x∫0xf(u)du一4∫0xuf(u)du+sin x， f’(x)=一4xf(0)+4∫0xf(u)du+4xf(x)一4xf(x)+cosx =一4xf(0)+4∫0xf(u)du+cos x， f"(x)=一4f(0)+4f(x)一sinx． 由上述表达式可见有f(0)=0，f’(0)=1．所以 f”(x)一4f(x)=一sinx． 解得 f(x)=C1e2x+C2e-2x+[*] 由f(0)=0，f’(0)=1，得 C1+C2=0， 2C1一2C2+[*] 所以[*]
解析
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考研数学三

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